Исключение единичных множеств

Вопервых, она безосновательно исключает из числа множеств те из них, которые состоят только из одного элемента. Спрашивается, а как же быть с множествами, не имеющими ни одного элемента, так называемыми пустыми множествами, без которых теория множеств никак не может обходиться? Исключение единичных множеств влечет за собой бессмысленность деления множеств на обычные и необычные, так как последними являются только объемы единичных имен (только они включают в качестве своего единственного элемента самих себя). Ссылаться в качестве примеров необычных множеств на каталог каталогов или список списков, якобы наряду со своими элементами (которыми по этой версии являются каталоги и списки) включающих и самих себя, является недоразумением, лежащим в основе парадокса Рассела. Каталог книг не является элементом множества каталога каталогов, потому что ни один каталог книг не является каталогом каталогов, как звезда не является созвездием. Единственным элементом этого множества является сам каталог каталогов, на основании чего мы относим его к необычным множествам.

Вовторых, теория типов не исключает возможности для вопроса: почему множество всех множеств не включает себя в качестве своего элемента. Оно ведь множество, а значит, должно находиться во множестве всех множеств. И мы вновь приходим к противоречию.

Таким образом, теория типов не исключает парадокса Рассела из теории множеств, а только отводит его в сторону. Теория типов показала, что исключить возможность парадокса чисто математическими средствами невозможно, что позже в более общем виде обосновал К. Гёдель в известной теореме о неполноте аксиоматической теории.

До тех пор пока теория множеств будет базироваться на интуитивном представлении о сдерживании ее фундаментальных категорий «элемент» и «множество», на котором основал ее создатель этой теории Г. Кантор или на констектуальном определении ее через аксиомы, на котором она базируется ныне, возможность указанного противоречия не будет из нее исключена. Как показал приведенный анализ, только содержательное определение этих базовых категорий позволяет ее окончательно удалить.

Парадоксы, таким образом, занимают промежуточное положение между софизмами и паралогизмами. С первыми их роднит то, что они строятся искусственно, но ошибки, лежащие в их основе, допускаются непреднамеренно, не с целью ввести когото в заблуждение, а неосознанно, по недоразумению. Последнее обстоятельство роднит их с паралогизмами, которые, однако, не являются искусственно построенными рассуждениями.

Комментарии запрещены.